二、空间与图形
在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰 富对 空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中 的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中， 发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的 图形性质的基 础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的 必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化 思想。
在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等 探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。
（一）具体目标
1．图形的认识
(1) 点、线、面
通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由 点组成的）。
（2）角
①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行 简单换算。
③了解角平分线及其性质【1】
（3）相交线与平行线
注【1】角平分线上的点到角的两边距离相等 ，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一 点画这条直线的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
（4）三角形
①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角 平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
②探索并掌握三角形中位线的性质。
③了解全等三角形的概念，探索并掌 握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角 形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判 定直角三角形。
（5）四边形
① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。
② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系 ；了解四边形的不稳定性。
注
【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的 垂直平分线上。
【2】等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。
[3]有两个角相等的三角形是等腰三角形。
[4]直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。
[5]有两个角互余的三角形是直角三角形。
③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］ 。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块 均匀的矩形木 重心）。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
（6）圆
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆 与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的 切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
（7）尺规作图
① 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。
② 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
③ 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
④ 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
（8）视图与投影
① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图 ），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关 系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
注：
［1］平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。
［2］一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的 四边形是平行四边形。
［3］矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线 互相垂直平分。
［4］三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边 相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
［5］等腰梯形同一底上的两 底角相等，两条对角线相等。
［6］同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。
④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一 些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴 影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。
⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦通过实例了解中心投影和平行投影。
2．图形与变换
（1）图形的轴对称
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分 的性质。
②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对 称关系，并能指出对称轴。［参见例1］
③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相 关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能 利用轴对称进行图案设计。
（2）图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。
②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
（3）图形的旋转
①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点 与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
② 了解平行四边形、圆是中心对称图形。
③ 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
④ 欣赏旋转在现实生活中的应用。
⑤ 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］
⑥ 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
（4） 图形的相似
① 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金 分割。
② 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等， 对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
③ 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
④ 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
⑤ 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（ 如利用相似测量旗杆的高度）。
⑥ 通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°， 60°角的三角函 数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。
⑦ 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
3．图形与坐标
（1） 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、 由点的位置写出它的坐标。［参见例4］
（2） 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］
（3） 在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］
（4） 灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］
4．图形与证明
（1）了解证明的含义
① 理解证明的必要性。
② 通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
③ 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题 不一定成立。
④ 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
⑤ 通过实例，体会反证法的含义。
⑥ 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据
① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
② 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
③ 若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全 等。
④ 全等三角形的对应边、对应角分别相等。
（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题［1］1
① 平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角 互补，则两直线平行）。
② 三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。
③ 直角三角形全等的判定定理。
④ 角平分线性质定理及逆定理；
三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
⑤ 垂直平分线性质定理及逆定理；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
⑥ 三角形中位线定理。
⑦ 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧ 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值 。
(二)案例
例1 以树干为对称轴，画出树的另一半。
例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。
例3 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过 怎样的变换产生的？
例4 在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连 接起来：
① （2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），
（4，6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
② （1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
④ （4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
⑤ （3，3）。
观察这个图形，你觉得它像什么？
例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系 ，用坐标表示各个景点的位置：
例6 如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案"A"经 过变换分别变成图2至图6中的相应 图案（虚线对应于原图案），试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生 了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。
例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面 示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；
（2）填空：
百鸟园在大门的北偏东 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
熊猫馆在大门的北偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
驼峰在大门的南偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米。
说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选 定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。
