三、教材编写建议
教材为学生的学习活动提供了基本线索， 是实现课程目标、实施教学的重要资源。教材编写应以《标准》为依据，所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和实际问题， 应当反映一定的数学价值，能够表现出不同内容之间的相互联系。教材内容的编排和呈现要突出知识的形成与应用过程；应引导学生从已有的知识和经验出发，进行自主探索与合作交流，并在学习过程中逐步学会学习；应关注对学生人文精神的培养。教材的编写还要有利于 调动教师的主动性和积极性，鼓励教师进行创造性教学。重要的数学概念与数学思想的呈现应体现螺旋上升的原则，逐步加深学生对数学知识、思想和方法的理解。
考虑到不同学生之间的差异，在贯彻《标准》的基本理念和保证《标准》规定的基本要求的前提下，教材编写应体现出自己的风格和特色，并具有一定的弹性。教材编写时，应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。
(一) 选取自然、社会与其他学科中的素材
本学段学生的活动空间比第一、二学段有了较大的扩展，学生感兴趣的问题已拓广到客观世界的许多方面，他们逐渐关注来源于自然、社会与其他学科中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，应当反映一定的数学价值。
例如，对于统计与概率的内容，在教材编写时应提供足够的现代社会生活中的实例。既可以从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中提取 他们感兴趣的问题，如对学校周围道路交通状况（运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等 ）的调查、对本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论歌手大赛中为什么要去掉一个最高分和最低分、讨论有奖销售等问题。这样的素材能引导学生更多地着眼于对实际问题的探索，理解概念的实际意义，在学习数学的同时更好地认识现实世界。
例1 调查学校附近一个人行横道的人流情况，你能就这 个人行横道的安全性和便利性提出改进意见吗？设计一个调查方案，然后分组进行调查，并在全班交流各组的调查报告。
(二)给学生提供探索与交流的空间
本学段的学生独立思考和探索的愿望和能力有所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教材编写时应注意体现这个特点，提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动。
教材可以设置具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考；提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；通过"与同学交流你的想法"等语言鼓励学生进行交流；提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识；适当提供需要学生合作交流来解决问题的活动，如设置探究课题、社会调查等，使学生经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考 问题、尝试解释不同答案合理性的活动，以发展其创新意识和实践能力；提出一些问题，引导学生对学习过程进行监控和反思。
例2 探索规律。
（1）计算并观察下列每组算式：
8×8＝5×5＝12×12＝
7×9＝ 4×6＝11×13＝
（2）已知25×25=625，那么 24×26= 。
（3）你能举出一个类似的例子吗？
（4）从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
（5）你能证明自己所得到的规律吗？
这个例子通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示，并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生空间观念的培养、推理能力的发展、对图形美的感受等都建立在经历观察、操作、猜测、推理、交流等活动的基础上，教材要充分展现这些过程。例如，在安排轴对称内容时，教材可以呈现徽标、枫叶、雪花等多种图案让学生观察；探索一些图案中蕴涵的轴对称关系；提供根据轴对称进行图案设计的活动；通过阅读材料等，介绍相关的一些科学道理（如飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也 考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）；利用对称解决一些有趣的问题。
例3 某汽车的车牌倒映在水中，你能根据水中的影子确定该车的牌照号码吗？
在学习基本图形基本性质的证明时，教材要设计一系列问题使学生认识到证明的必要性，探索证明的思路，体验证明的过程要步步有据。
(三) 体现数学知识的形成与应用过程
本学段的教材应体现从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程。 教 材中学习素材的呈现力求体现"问题情境-建立数学模型-解释、应用与拓展"的模式，围绕所要学习的数学主题，选择有现实意义的、对学生具有一定挑战性的、能够表现重要数学意义、有利于学生一般能力发展的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解 包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的数学知识、方法与技能，为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径。通过上述的过程，学生将逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解。
例如，在数与代数中，学生将学习方程、不等式、函数等内容，它们是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地描述和把握现实世界，编写上述内容的教材时，要体现出数学建模的过程。如教材可以从生活中常见的"梯子问题"出发，引导学生进行讨论，获得"一元二次方程"的模型和近似解：
例4 一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米，那么
（1） 猜一猜，底端也将滑动1米吗？
（2） 列出底端滑动距离所满足的方程。
（3） 你能尝试得出这个方程的近似解吗？底端滑动的距离比1大，还是比1小？与同学交流 你的想法。
教材可以再提供一些具体问题中的数量关系，使学生列出有关的一元二次方程，并经历探索满足方程解的过程，进而产生学习方程一般解法的愿望。在学习了一元二次方程的一般解法后，教材除了要回顾上述的"梯子问题"外，还可以设立下面的开放性问题：
例5 在一个长为50米、宽为30米的矩形空地上建造一个花园，要求种植花草的面积是整块空地面积的一半，请展示你的设计。
这个问题的参与性很强，每个学生都可以展开想像的翅膀，按照自己思考的设计原则，设计出不同的图案，并尽量使自己的方案定量化，在一些方案的定量化过程中，学生可以体会到一元二次方程在处理数量关系上的作用，认识到解一元二次方程不是一个机械的计算，得到的结果必须对具体情况是有意义的，需要恰当地选择解和检验解。
(四) 呈现形式要丰富多彩
本学段的学生主要借助字母、图形、文字等多种材料从事数学活动。教材呈现形式应多样化，可以将实物照片、素描、文字、表格、图形、字母等多种形式结合起来，使学生积极、主动地参与整个学习过程，加深对所学内容数学意义的理解。如用场景图、实物照片等呈现问题情境，也可以编排一些有趣的阅读材料，还可以安排多种活动（操作、实验、调查等）， 使学生的数学学习密切联系现实世界。素材还应蕴涵丰富的数学思想，使学生在学习过程中 发现其中的数学内涵。如为了加深对乘方的理解，教材可以提供生物学中细胞分裂的实例，在呈现时可以用细胞分裂图来展示细胞分裂的过程: 每个细胞每次分裂为2个，2个又分裂成4个，如此下去就构成了1，2，4，8，…这样一组数。这既提高了学生学习数学的兴趣，了解了数学在其他学科中的应用，又加深了对所学知识的理解。
丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材，教材应做到图片与启发性问题相结合，图形与必要的文字相结合，计算与推理相结合，数和形相结合，充分发挥图形直观的作用，使教材图文并茂，富有启发性。
函数是数与代数中的重要内容，函数有多种表示形式（表格、图象、表达式、语言），教材要提供多种形式表示函数的例子，从多种角度来认识一次函数、二次函数、反比例函数的意 义，以加深学生对函数思想的理解。
(五)内容设计要有一定的弹性
一方面，教材要按照《标准》中指出的要求，保证学生基础知识和基本技能的获得与一定的训练；另一方面，考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，教材在保证基本要求的前提下，要体现一定的弹性，满足学生的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展，同时便于教师发挥创造性。具体的设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或 开放性问题，以使不同的学生得到不同的发展；提供一定的阅读材料供学生选择阅读；课后习题的选择与编排应突出层次性，可以设置巩固性练习、 拓展性练习、 探索性问题等多种层次；在设计课题学习时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，在全体学生获得必要发展的前提下，不同的学生可以获得不同的体验；教材可以编入一些拓宽知识的选学内容，但增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。
教材可以通过设计具体课题和阅读材料等形式引入计算机、函数计算器等教育技术供有条件的学生选择使用，使学生将更多的精力投入到有意义的探索性活动中去。如可以探索一些数量关系、函数的性质、图形的性质；可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形；可以利用坐标进行作图，可以从事图案的设计；可以展示丰富多彩的几何图形，可以探索图形的变化规律等；还可以收集数据、处理数据、模拟概率实验等。
(六)重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则
《标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，在教材编写时，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。
例如，前两个学段的教材已经渗透了函数的思想，本学段将出现函数的概念。学生对函数概念的理解也有一个逐步发展的过程，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的、不断深化的过程，而不宜集中一次学完，这样有利于学生不断加深对函数思想的理解。又如，在各个年级、各个领域中都应设计推理和证明的内容，可以按照提出佐证、说理和证明等层次逐步展开。
(七)重视知识之间的联系与综合
教材要关注数学知识之间的联系，这包括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具体内容，体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性；教材还应关注数学与现实世界、与其他学科之间的联系。
例如，对于统计与概率的内容，教材应重视渗透统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计等。教材还应将统计与概率和其他领域的内容联系起来，从统计与概率的角度为他们提供问题情境，在解决统计与概率问题时自然地使用其他领域的知识和方法，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。
对于数与代数的内容，教材要重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和（如1+3+5+7+ …可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图象理解函数的变化趋势。
本学段的课题学习将更多体现活动的探索性和研究性，更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识。课题学习的内容不一定在课内完成，教材可以设计一些活动，鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动。
(八)介绍有关的数学背景知识
在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用（如建筑、计算机科学 、遥感、CT技术、天气预报等），这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。辅助材料可以以阅读材料等形式出现。
在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将促成代数兴起与发展的重要人 物和有关史迹的图片呈现在学生的面前，也可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料（如《九章算术》、秦九韶法）、函数 概念的起源、发展与演变等内容。
在空间与图形部分，可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:介绍欧几里得《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值；介绍勾股定理的几个著名证法（如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵；介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值（如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一）；结合有关教学内容介绍古希腊及中国古代的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵；作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学命题和数学方法的美学价值。
在统计与概率部分，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰（Buffon）投针问 题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。
