联想和猜想
案例
“积的变化规律”的深化拓展教学
师：刚才，我们一起复习了积的变化规律，并进行了相
应的练习。请同学们想一想：除了一个因数不变，另一个因
数变化会引起积的变化之外，还有哪些情况也会引起积发生
变化呢?
生：两个因数都变化，积也会发生变化。
师：对！那么两个因数可以怎样变化呢？
生：两个因数可以同时扩大，同时缩小；还可以一个目
数扩大，另一个因数缩小。
师：非常好！首先请同学们猜想一下，两个目数同时扩
大或同时缩小，积会怎样变2
生：两个因数同时扩大，积也会扩大，并且积扩大的倍
数正好是两个因数扩大倍数的乘积；两个因数同时缩小，积
也会跟着缩小，并且积缩小的倍数等于两个因数缩小倍数的
乘积。
师：其他同学同意他的想法吗？
生：同意。
师：可是，这仅仅是他的猜测呀，这个结论是否正确，是
需要验证的，你们能想办法验证吗？
生：能。可以举例验证。
学生分小组讨论后反馈。
例如：
4×9＝36 4×9=36
师：通过刚才的验证，说明这位同学的猜想是正确
的……再请同学们想一想、猜一猜：当两个因数怎样变化
时，积会不变呢？
生：当一个因数扩大几倍，另一个国数缩小相同的倍数
时，积就不会发生变化。例如：
10 ×15= 150 10 × 15=150
师：同学们真了不起！能自己发现数学规律了，老师真
为你们高兴！那谁能为刚才发现的这条规律起个名称？
生：“积不变的规律”好不好？
师：不错，就叫做积不变的规律，这条规律在以后的学
习中用途可大了，如小数来法计算法则的推导、简便运算等
都会用到这条规律。
（巩固练习略）
师：你们还有什么新的问题、新的想法吗？
生：既然有积的变化规律，有没有和的变化规律、差的
变化规律、商的变化规律？我想也应该有吧？
生：既然有积不变的规律，我想也会有和不变、差不变。
商不变的规律，这些规律是怎样的呢？
师：同学们提出的问题都很有水平，很有价值，由于时
间关系，就请同学们下课后自己去探索、去研究。
解读
数学家发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程。而猜想又往往是以联想为中介的。
在上述案例中我们看到，学生在教师的启发下，由已掌握的“一个因数不变，另一个因数变化会引起积的变化’，联想到“两个因数变化，积也会发生变化”。由“积变化的规律”，联想到“和、差、 商的变化规律”；由“积不变的规律”，联想到“和、差、商不变的规律”等等。学生通过联想，产生了一个个新的数学问题。面对新的数学问题，教师鼓励学生先进行大胆猜想，再自己想办法加以验证。学生个个像数学家一样，展开丰富的联想，进行大胆的猜想，并自主地收集例证材料进行验证，发现新的数学规律。这样，学生在研究发现数学规律的同时，受到了一次科学研究方法的启蒙。
这一案例说明，在小学数学教学中，诱发学生展开联想，鼓励学生进行大胆的猜想，让学生真实地经历数学问题的产生和解决的全过程，是发展学生的创新意识和创造性学力的有效途径。
1.联想。
联想是以观察为基础，对研究的对象或问题的特点，联系已有的知识和经验进行想像的思维方法。联想是一种自觉的和有目的的想像，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动。
联想的关键在于认识事物或对象间的联系，它是进行类比、模拟、归纳、猜测等似真推理的基础。因此，发现性思维方法要以联想作为中介，才能发挥作用。在小学数学教学中，教师要善于诱导学生展开丰富的联想，开启发现性思维活动的闸门，探索新知，解决问题。
（1）诱发学生通过联想，把思考引向新的领域，不断产生新的求知欲望。
例如，在比较分数大小的教学中，学生学会了同分母分数大小的比较后：
师：接下来，大家还想比较怎样的分数的大小？
生：要是分子相同，怎样比较分数的大小？
师：你能从比较同分母分数的大小联想到要比较同分子分数
的大小，真好！出司
生：那么，要是分子分母都不同，这样的分数怎样比较呢？
这一教学过程，教师诱导学生由联想产生新的问题，不断产生新的学习欲望。长期这样训练，学生便能生成由此及彼地不断发现新的数学问题的能力。
（2）诱导学生通过联想，激活已有的知识和经验（思维的内部材料），主动获取新知或解决新的数学问题。
例如，圆柱体积公式的教学：
师：以前我们是怎样推导圆面积的计算公式的呢？（教师电脑演示由圆割拼成长方形的过程）
生：把一个圆平均分割成扇形，再拼成近似的长方形，由长方形的面积公式来推导圆面积的计算公式。
师：由此你认为可以用怎样的方法来推导圆柱体积计算公式呢？
生：我想可以将圆柱割拼成长方体，来推导公式。
师：试试看！（提供每组学生一个圆柱，由学生通过实验及推理，推导公式）
又如，教学应用题：少先队员在山坡上种松树和柏树，一共种了120棵，松树的裸数是柏树的4倍。松树和柏树各种了多少棵？可首先启发学生由“松树的裸数是柏树的4倍”展开联想：
松树和柏树棵数的比是4：1；松树的棵数与两种树总棵数的比是4：5；柏树的裸数与两种树总棵数的比是1：5；柏树占两种树总棵数的1/5等等。
由此再联想到用按比例分配的方法列出比例解应用题的方法等，用多种方法进行解答。
从上述两例中可以看出，联想是沟通外部思维材料与内部思维材料的重要方法。联想能力的强弱还与思维品质的广阔性、深刻性、灵活性相互渗透。
2、猜想。
猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想像的思维方法。猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉的高级认识过程。对于发现性数学学习
来说，猜想是一种重要的基本思维方法。正如G波利亚所说：“在
你证明一个数学定理之脑—·在你搞清楚证明细节之前，1
猜想出证明的主导思想。’在数学教学中“必须两样都教”，I
使学生掌握论证推理，也要使他们懂得合情推理。
例如，长方形特征的教学：
门）认识长方形的对边相等。
①师：请看看、想想：长方形的四条边长短有什么关
生观察后，猜想：相对的两条边长度相等。
②师：怎样可以验证长方形相对的两条边长短相等E
相等？
学生提出：可以用尺量，还可以对折D
③操作。通过量量、折折，学生确信长方形相对的两条：
相等。
板书：长方形对边相等。
师：“对边”是什么意思2一个长方形有几组对边？请做
出长方形的两组对边。（教师投影演示强化表象）
④巩固长方形对边相等的认识。
投影下面的长方形：
师：括号内是多少厘米？你是怎么知道的？
要求学生逐步学会用“因为…所以…··”句式回答，如“因为
长方形的对边相等，所以长方形的一条边是5厘米，它的对边也一
定是5厘米”。
（2）认识长方形的四个角都是直角。
①观察长方形的四个角。提问：这四个角有什么特点？
学生观察后，猜想：四个角一样，四个
角都是直角。
②用三角极去量一量，验证。
投影右图。
师：和老师量法一样的小朋友点点头。
板书：四个角都是直角。
又如，在教学圆面积时，教师先让学生猜一猜：下图中圆面积
与小正方形的面积有什么关系？
学生观察后，得出小正方形面积的2倍＜圆面积＜小正方形
面积的4倍。即：半径赋半径XZ＜圆面积＜半径X半经黑人
大胆猜想：圆面积大约是半径平方的3倍。教师又引导学生
结合圆周R计算公式得出猜想：圆的面积是半径平方的。倍。然
后组织学生通过实验验证。
在上述两个教学片断中，教师采取与学生一起从起点情境出
发往上看目标的方法，先鼓励学生联系已有知识与经验进行形象
的分解、选择、加工和改造，大胆猜想结论，再由学生想办法来验证
猜想。在这样的过程中，学生“自己引导思维”，经历“猜测、假定、确
定”的过程，体验‘冒险、创造、发现”的喜悦。
